Änderungsraten
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – tiefster Punkt
Der tiefste Punkt in der Ableitungsfunktion ist der Wendepunkt mit dem größten Gefälle im Graphen von \(g\). Dabei ist
\( \quad g'(2) \; = \; - 52 \)
\(\\\) 2 Stunden nach Messbeginn haben wir ein ein stärkstes Absinken des Glukosewertes von \(52 \; u\) pro Stunde.
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Aufgabe 2 – unterschiedliche Änderungsraten
Term \(A\) beschreibt die durchschnittliche Änderung des Glukosewertes im Zeitintervall \(1 \leq t \leq 3\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } \frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} & = & \frac{57 - 135}{2} \\[8pt] & = & -39 \; \frac{u}{h} \\ \end{array} \)
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Term \(B\) beschreibt die momentane Änderung des Glukosewertes zum Zeitpunkt eine Stunde nach Messbeginn mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } \lim \limits_{h \to 0} \frac{g(1+h) - g(1)}{h} & = & g'(1) \\[12pt] & = & 39 \cdot 1^2 - 156 \cdot 1 +104 \\[8pt] & = & - 13 \; \frac{u}{h} \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Warnsymbol
Wir berechnen die Zeitpunkte bei denen \(g'(t)=-40\) ist.
\( \quad 39 t^2 - 156 t +104 \; = \; - 40 \)
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Die Gleichung kann auf unterschiedliche Weise gelöst werden; zum Beispiel händisch mit der PQ-Formel oder mit den Taschenrechnerfunktionen (SOLVE-Befehl bzw. Nullstellenberechnung von Polynomen).
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Version 1 – Lösung mit der PQ-Formel
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 39 t^2 - 156 t +104 & = & - 40 & | + 40 \\[6pt] 39 t^2 - 156 t +144 & = & 0 & | : 39 \\[8pt] t^2 - 4 t +\frac{48}{13} & = & 0 & \\[16pt] t_{1,2} & = & -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} & \\[12pt] & = & -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - \frac{48}{13}} & \\[12pt] & = & -2 \pm \sqrt{ (-2)^2 - \frac{48}{13}} & \\[8pt] t_1 & = & 1{,}4453 \\[6pt] t_2 & = & 2{,}5547 \\ \end{array} \)
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Damit ist der Zeitraum
\( \quad 2{,}5547 - 1{,}4453 \; = \; 1{,}1094 \; > \; 1 \)
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Version 2 – Lösung mit dem SOLVE-Befehl
Wir geben die Gleichung
\( \quad \begin{array}{ c c c } 39 x^2 - 156 x +104 \; \color{#CC0000}{=} \; - 40 \\ \end{array} \)
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mit der Taste \(\boxed{x}\) und das rote Gleichheitszeichen mit der Tastenkombination \(\boxed{\color{#CC0000}{ALPHA}}\) \(\boxed{CALC}\) ein. Das Ergebnis wird nun mit dem Befehl SOLVE mithilfe der Tastenkombination \(\boxed{\color{#C19A6B}{SHIFT}}\) \(\boxed{CALC}\) abgerufen. Wir erhalten beispielsweise folgende Ausgabe:
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Die \(1\) ist noch nicht die Lösung, sondern ein Vorgabewert mit der die Lösungssuche gestartet wird. Die Lösung erhalten wir, wenn wir \(\boxed{=}\) drücken.
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Eine Lösung ist nun \(1{,}445299804\). Die zweite Lösung liegt weiter rechts. Wir geben als Startwert eine größere Zahl vor, zum Beispiel \(\boxed{3}\). Wir betätigen noch einmal \(\boxed{=}\) und geben die \(\boxed{3}\) ein.
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Mit zweimal \(\boxed{=}\) erhalten wir
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Die zweite Lösung ist also
\( \quad \begin{array}{ c c c } t \; = \; 2{,}554700196 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Damit ist der Zeitraum
\( \quad 2{,}554700196 - 1{,}445299804 \; = \; 1{,}109400392 \; > \; 1 \)
\(\\[2em]\)
Version 3 – Lösung mit der Nullstellenberechnung von Polynomen
Zur Nullstellenberechnung formen wir die Gleichung um.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 39 t^2 - 156 t +104 & = & - 40 & | + 40 \\[6pt] 39 t^2 - 156 t +144 & = & 0 & \\ \end{array} \)
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Wir rufen die Nullstellenberechnung im CASIO fx-991DE X mit dem MENU
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auf. Wir betätigen \(\boxed{=}\)
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und wählen \(\boxed{2}\)
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und noch einmal \(\boxed{2}\) . Anschließend geben wir die Parameter ein.
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Wir bestätigen mit \(\boxed{=}\). Durch Umschalten in die Dezimalanzeige mit \(\boxed{S \Leftrightarrow D}\) erhalten wir
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und für den anderen Wert entsprechend
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Damit ist der Zeitraum
\( \quad 2{,}554700196 - 1{,}445299804 \; = \; 1{,}109400392 \; > \; 1 \)
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